群的基本概念(1)

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这里主要给出一些群的基本概念：群、群的划分、同构和同态，便于查阅。可能会不定时更新。

群

群的一种定义

一个非空集合$G$对于一个叫乘法的代数运算叫做一个群，如果

  1. $G$对这个乘法来说是封闭的.
  2. 结合律成立:
    $$
    a(bc)=(ab)c
    $$
    对任意$G$中三个元素都成立.
  3. 有唯一的单位元素$e$，使得对$\forall f\in G$，有$ef=fe=f$
  4. 对$\forall f\in G$，存在且唯一存在$f^{-1}\in G$，使得$f^{-1}f=ff^{-1}=e$.

群的另外一种定义

一个非空集合$G$对于一个叫乘法的代数运算叫做一个群，如果

  1. $G$对这个乘法来说是封闭的.
  2. 结合律成立:
    $$
    a(bc)=(ab)c
    $$
    对任意$G$中三个元素都成立.
  3. $\forall a,b \in G$，方程
    $$
    ax=b\ 和\ ya=b
    $$
    在$G$中有解.

有限群的另外一种定义

一个有乘法的有限非空集合$G$形成一个群，假如

  1. $G$对这个乘法来说是封闭的.
  2. 结合律成立:
    $$
    a(bc)=(ab)c
    $$
    对任意$G$中三个元素都成立.
  3. 消去律：
    若$ax=ax’$，那么$x=x’$,
    若$ya=y’a$，那么$y=y’$.

被满足.

有限群与无限群

一个群叫有限群，假如这个群元的个数为一个有限整数，否则这个群叫无限群.一个有限群的元素个数称为这个群的阶.

交换群（Abel 群）

一个群叫交换群，假如
$$
ab=ba
$$
对于$\forall a,b \in G$成立.

  • 易得，交换群的乘法表关于对角线对称.

子群

设$H$是$G$的一个子群，若$H$是$G$的一个子集，且对$G$相同的乘法运算也构成一个群.

一个不空子集为子群的充要条件为:

  1. 封闭性.
  2. 每个元素有唯一逆元.

一个不空有限子集为子群的充要条件为:

  1. 封闭性.
  • 群$G$的非平庸子群称为固有子群.

$S$生成的子群

$S$是$G$中的一个任意非空子集，一个集合$H$恰好包含了$S$的元及其逆元所形成的各种乘积，则$H$形成$G$的一个子群，称为$S$生成的子群，记作$(S)$.

群的划分

陪集

$H$是$G$的子群，由固定的$g\in G$，可得
$H$的左陪集$gH=\{gh_\alpha|h_\alpha\in H\}$
$H$的右陪集$Hg=\{h_\alpha g|h_\alpha\in H\}$

  • 一个子群的左右陪集个数相等.

指数

$G$的一个子群$H$的右陪集（或左陪集）的个数称为子群$H$在$G$里的指数，记作$[G:H]$.

可以证明：
$$
[G:H]=\frac{|G|}{|H|}
$$

陪集定理

一个子群的左右陪集要么完全相同，要么没有任何公共元素.

Lagrange 定理

有限群子群的阶必为群阶的因子，即:
$$
|G|=|H|[G:H]
$$

不变子群

$G$的一个子群$N$叫做哟个不变子群，假如对于$G$的每一个元$a$来说，都有
$$
Na=aN
$$
不变子群的一个左（右）陪集叫做这个子群的陪集.

$G$的中心

包含群$G$所有满足以下性质的元$n$的子群叫做$G$的中心:
$$
na=an,\ \forall a \in G
$$

共轭与类

共轭

对于$f,h\in G$，如果在$G$中存在一个$g$，使得$f,h$满足$gfg^{-1}=h$，则称$f,h$共轭，记作$f\sim h$.

类

$G$中所有相互共轭元素形成的集合称为$G$的一个类.

  • 有限群中每个类中元素的个数都是群阶的因子.

正规子群（不变子群）

群$G$的子群$H$有$\forall a\in G, aH=Ha$，则子群$H$称为$G$的正规子群，记作$H\triangleleft G$.

也可说$H$中所有同类元素属于$H$，则称$H$是$G$的正规子群.

商集和商群

左右商集的定义

左商集：$(G/H)_l=\{aH|a\in G\}$，右商集：$(G/H)_r=\{Ha|a\in G\}$

事实上左右商集之间可以建立一一映射.

由商集的定义可知，正规子群就是左右商集相等的子群.

集合的乘法

对于$G$的子集$H,K$，定义
$$
HK=\{hk|h\in H,k\in K\}
$$

可以证明集合乘法满足结合律.

商群定义

商集在集合乘法构成的群称为商群，即：
$$
G/H=\{aH|a\in G,H\triangleleft G\}
$$
乘法为:$(aH)(bH)=(ab)H$

  • 商群中的元素是陪集，也就是说商集是“集合的集合”.
  • 一个群$G$与它的每一个商群$G/N$同态.

群的同构与自同构

群的同构

若从群$G$到群$F$上，存在一一对应的满映射$\Phi$，对于$\forall a,b\in G$，如果:
$$
a\longrightarrow \overline{a},b\longrightarrow \overline{b}
$$
那么有
$$
a\circ b\longrightarrow \overline a \overline\circ\overline b
$$
则称群$G$与群$F$同构，记作$G\cong F$。映射$\Phi$称为同构映射。

自同构映射

群$G$到自身的自同构映射记为$\nu$，对$\forall g_\alpha \in G$，有$\nu(g_\alpha)\in G$且$\nu(g_\alpha g_\beta)=\nu(g_\alpha)\nu(g_\beta)$.

自同构群

群$G$的所有自同构映射形成一个群，称为$G$的自同构群，记作$A(G)$.
$A(G)$的子群称为 一个自同构群.

内自同构映射

一个映射$\phi$称为$G$内自同构映射，当
$$
\phi:\ x\longrightarrow gxg^{-1}
$$
对于$\forall x\in G$成立，$g\in G$

内自同构群

群$G$的所有内自同构映射形成一个群，称为$G$的内自同构群，记作$I(G)$.

  • 内自同构映射群为自同构群的不变子群.
  • 交换群的内自同构群是平凡的.

群的同态

同态映射

一个从$A$到$\overline{A}$的映射$\phi$，对于代数运算$\circ$和$\overline{\circ}$来说 称为$A$到$\overline{A}$的一个同态映射，如果:
$$
a\longrightarrow \overline{a},b\longrightarrow \overline{b}
$$
那么
$$
a\circ b\longrightarrow \overline a \overline\circ\overline b
$$

同态核

设$G$与$F$同态，那么$G$中与$F$中单位元素对应的所有元素的集合称为同态核.

同态核定理

设$G$与$F$同态，则有：

  1. 同态核$H$是$G$的不变子群.
  2. 商群$G/F$与$F$同构.