群的基本概念(2)

这一节主要给出 变换群、置换群、循环群 的相关基本概念，便于查阅。

变换群和置换群

变换和置换

设$X$为一个非空集合，从$X$到$X$的双射叫做$X$上的变换；当$X$为有限集合时，则称为置换.

变换群和置换群

定义$X$上的两个变换（或置换）$f,g$的乘积$fg$为先对$X$进行置换$g$，再对$X$进行置换$f$，在此乘法意义下，全体$X$上的变换构成一个群，叫$X$上的完全对称群，记作$S_X$；对于$S_X$的子群，我们称为$X$的一个变换群；若$X$为$n$个元素的集合，则称为$n$阶置换群，记作$S_n$.

Cayley（凯莱）定理

群$G$同构于$S_G$的一个子群.

• 可以证明，每一个有限群都与一个置换群同构.；

等价性

设$G$为$X$上的变换群，若对$x,y\in X$，$\exists g\in G$，使得$g(x)\in y$，则称$x$与$y$等价，记作$x\sim y$.

轨道

设$G$为$X$上的变换群，$x$为$X$中元素，由$X$中所有与$x$等价的元素的集合，称为$x$的$G$轨道.

不变子集

设$G$为$X$上的变换群，若有$X$上的子集$Y$，对应$G$中任意元素$g$，它得到的结果还属于$Y$，则称$Y$为群$G$在$X$上的不变子集.

迷向子群

设$G$是$X$上的变换群，$x$是$X$中一点，$G$的子群$G^x$保持$x$不变，也就是$G^x=\{h|h\in G且hx=x\}$，则称$G^x$是$G$对$x$的迷向子群.

循环群

定义

若一个群$G$的每一个元都是$G$的某一个固定元$a$的乘方，我们就把$G$叫做循环群.

也可以说$G$是由$a$生成，并用符号
$$
G=(a)
$$
表示.$a$叫做$G$的一个生成元.

性质

假设$G=(a)$，$G$的构造完全由$a$的阶数决定：
若$a$为无限阶，$G$与整数加群同构；
若$a$的阶为有限整数$n$，$G$与模$n$剩余类加群同构.